Bilangan TKA Matematika SMA: Materi Lengkap + Contoh Soal

Ringkasan Kerangka Asesmen TKA: Bilangan TKA Matematika SMA

Pada TKA Matematika jenjang SMA/MA/SMK, bilangan merupakan salah satu elemen/materi esensial yang diujikan. Fokusnya adalah bilangan real beserta operasi dan sifat-sifatnya, serta kemampuan menerapkan konsep hingga penalaran tingkat lanjut dalam konteks matematis maupun keseharian (personal, keluarga, lingkungan).

Konsep Dasar Bilangan TKA Matematika SMA: Bilangan Real

Bilangan real (\(\mathbb{R}\)) mencakup semua bilangan yang dapat direpresentasikan pada garis bilangan: rasional dan irasional. Subhimpunannya:

• Bilangan Asli \(\mathbb{N}\): \(1,2,3,\dots\)
• Bilangan Cacah: \(0,1,2,3,\dots\)
• Bilangan Bulat \(\mathbb{Z}\): \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\)
• Bilangan Rasional \(\mathbb{Q}\): dapat ditulis sebagai \(\tfrac{p}{q}\) dengan \(p,q\in\mathbb{Z}, q\neq 0\). Desimalnya berakhir atau berulang.
• Bilangan Irasional: tidak dapat dinyatakan sebagai \(\tfrac{p}{q}\); desimalnya tak berakhir dan tak berulang (mis. \(\sqrt{2}, \pi\)).

Garis Bilangan dan Urutan

Setiap bilangan real dipetakan ke titik unik pada garis bilangan. Untuk \(a,b\in\mathbb{R}\):

• \(a>b\) berarti \(a\) di kanan \(b\).
• \(|a|\) adalah jarak \(a\) ke 0: \(|a|=\begin{cases}a,&a\ge 0\\-a,&a<0\end{cases}\).

Interval Notation

Beberapa penulisan interval yang umum:

• \((a,b)\) terbuka: \(a<x<b\)
• \([a,b]\) tertutup: \(a\le x\le b\)
• \((a,b]\) setengah terbuka kanan, \([a,b)\) setengah terbuka kiri

Operasi Bilangan & Sifat Komutatif–Asosiatif–Distributif

Operasi dasar pada \(\mathbb{R}\) meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian oleh 0). Sifat-sifat penting:

Sifat Komutatif

\(a+b=b+a,\quad a\cdot b=b\cdot a\).

Sifat Asosiatif

\((a+b)+c=a+(b+c),\quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\).

Sifat Distributif

\(a(b+c)=ab+ac\), dan secara umum \( (x-y)z=xz-yz \).

Contoh Kontekstual

• Diskon bertingkat: \(p\%\) lalu \(q\%\) pada harga \(H\): \(H(1-\tfrac{p}{100})(1-\tfrac{q}{100})\).
• Rasio campuran: perbandingan \(a:b:c\) bermakna \( \dfrac{a}{a+b+c} \), \( \dfrac{b}{a+b+c} \), \( \dfrac{c}{a+b+c}\) dari total.

Urutan, Nilai Mutlak, Interval, dan Pertaksamaan

Transformasi Pertaksamaan

• Menambah/mengurangi bilangan yang sama pada kedua ruas: arah pertaksamaan tetap.
• Mengalikan/membagi dengan bilangan positif: arah tetap.
• Mengalikan/membagi dengan bilangan negatif: arah berbalik.

Nilai Mutlak

Definisi: \(|x|=\sqrt{x^2}\). Beberapa sifat dasar:

• \(|ab|=|a||b|\), \(|\tfrac{a}{b}|=\tfrac{|a|}{|b|}\,(b\neq 0)\)
• \(|a+b|\le |a|+|b|\) (segitiga)
• \(|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r\)

Pangkat Bulat & Pangkat Pecahan (Rational Exponents)

Kerangka TKA menekankan pangkat bilangan bulat dan pangkat pecahan pada bilangan real nonnegatif (untuk menjaga keterdefinisian dalam konteks real). Aturan pokok pangkat (untuk basis \(a>0\), \(a\neq 0\) bila relevan):

Pangkat Bulat

• \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
• \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) (untuk \(a\neq 0\))
• \((a^m)^n=a^{mn}\)
• \(a^0=1\) (untuk \(a\neq 0\)); \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Pangkat Pecahan dan Akar

Untuk \(m,n\in\mathbb{Z}^+\), definisikan \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\) (dengan \(a\ge 0\) agar \(\sqrt[n]{a}\) terdefinisi di real saat \(n\) genap).

Sederhanakan Ekspresi

Gunakan sifat pangkat untuk menyederhanakan: \(\sqrt[3]{a^5}=a^{5/3}=a^{1+2/3}=a\cdot a^{2/3}\).

Pecahan, Desimal, dan Persen

• \(\tfrac{p}{q}\to\) desimal: bagi \(p\) oleh \(q\).
• Desimal \(\to\%\): kalikan \(100\%\).
• \(\%\to\) pecahan: bagi dengan \(100\) lalu sederhanakan.

Contoh: \(0{,}125=12{,}5\%\), \(\; 7{,}5\%=\tfrac{7{,}5}{100}=0{,}075=\tfrac{3}{40}\).

Pemetaan Level Kognitif TKA pada Materi Bilangan TKA Matematika SMA

Contoh Soal TKA (bertingkat) & Pembahasan

1) Pengetahuan & Pemahaman

Soal 1. Tentukan jenis bilangan berikut: \( \sqrt{50}, \; \dfrac{22}{7}, \; 0{,}\overline{36} \).

Pembahasan: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) (irasional), \(22/7\) (rasional), \(0{,}\overline{36}\) desimal berulang (rasional).

Soal 2. Sederhanakan: \( 3(2x-5)-2(3x-4) \).

Pembahasan: \(6x-15-6x+8=-7\).

2) Aplikasi

Soal 3. Nilai produksi suatu pabrik naik \(10\%\) lalu turun \(15\%\). Jika nilai awal \(V\), nyatakan nilai akhir.

Pembahasan: \(V(1+0{,}10)(1-0{,}15)=0{,}935V\).

Soal 4. Selesaikan pertaksamaan nilai mutlak: \(|2x-3|\le 5\).

Pembahasan: \(-5\le 2x-3\le 5 \Rightarrow -2\le 2x\le 8 \Rightarrow -1\le x\le 4.\)

3) Penalaran

Soal 5. Bandingkan \(A=16^{3/4}\) dan \(B=8^{2/3}\) tanpa kalkulator.

Pembahasan: \(A=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\). \(B=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\). Maka \(A>B\).

Soal 6. Tentukan solusi real pertaksamaan: \( \dfrac{3}{x-2} \ge 1 \).

Pembahasan ringkas: Pindah ruas: \( \dfrac{3}{x-2}-1\ge 0 \iff \dfrac{3-(x-2)}{x-2}\ge 0 \iff \dfrac{5-x}{x-2}\ge 0 \). Titik kritis \(x=2,5\). Uji interval: \((-\infty,2)\) tidak; \((2,5)\) ya; \((5,\infty)\) tidak. Pada \(x=5\) memenuhi “≥”; \(x=2\) tak terdefinisi. Solusi: \((2,5]\).

Latihan TKA Matematika SMA — Bilangan

Format Soal

• Pilihan ganda sederhana (PG): 1–5 (satu jawaban benar).
• MCMA (Multiple Correct Multiple Answer): 6–8 (lebih dari satu jawaban benar).
• Kategori: 9–10 (benar/salah & klasifikasi).

Soal & Pembahasan